Lemme 9

Soit G un groupe topologique et soit B une partie borélienne non maigre de G. Si G est un espace de Baire, $BB^{-1}$ est un voisinage de e.

Soit U un ouvert de G tel que $U \cap \mathscr{C}B$ et $B \cap \mathscr{C}U$ soient maigres (lemme 8). Alors U n’est pas maigre, donc est non vide. Par suite, il suffit de montrer que

UU^{-1} \subset BB^{-1}. Soit x \in UU^{-1}; l’ouvert U \cap xU n’est pas vide, donc est non maigre puisque G est un espace de Baire. Posons:

On a $Z \subset (U \cap \mathbf{C} B) \cup x(U \cap \mathbf{C} B)$, et Z est maigre. Par suite, $U \cap xU$ n’est pas contenu dans Z, et l’on a $B \cap xB \neq \varnothing$, i.e. $x \in BB^{-1}$, ce qui montre bien que $BB^{-1}$ est un voisinage de e.

Démontrons maintenant le th. 4. Comme $u(G) = pr_2(\Gamma)$ et que H est séparé, $u(G)$ est souslinien, donc possède une partie dénombrable dense D (IX, p. 59, prop. 4). Soit W un voisinage de e dans H. Montrons que $\bar{u}^1(W)$ n’est pas maigre. En effet, si $\bar{u}^1(W)$ était maigre, il en serait de même de chacun de ses translatés. Mais on a $u(G) \subset \bigcup_{x \in D} xW$ et G est donc réunion d’une famille dénombrable de translatés de $\bar{u}^1(W)$, ce qui contredit le fait que G est un espace de Baire.

Soit maintenant V un voisinage de e dans H, et soit W un voisinage ouvert de e tel que WW^{-1} \subset V. L’intersection $\bar{pr}_2^1(W) \cap \Gamma$ est ouverte dans $\Gamma$. Comme la restriction de $pr_1$ à $\Gamma$ est une application continue bijective de $\Gamma$ sur G, il résulte du cor. 2 du th. 2 de IX, p. 66 que $\bar{u}^1(W) = pr_1(\bar{pr}_2^1(W) \cap \Gamma)$ est un sous-ensemble borélien de G. Le lemme 9 montre alors que $\bar{u}^1(V)$, qui contient $\bar{u}^1(W) . \bar{u}^1(W)^{-1}$, est un voisinage de e, ce qui entraîne que $u$ est continue.