Théorème 6

Soient $X$ un espace séparé, $f$ une capacité continue à droite sur $X$. Tout sous-espace souslinien $Y$ de $X$ est alors capacitable pour $f$.

Considérons un espace polonais $P$ et une application continue $p$ de $P$ dans $X$ telle que $p(P) = Y$. En vertu de IX, p. 58, cor. 1, on peut supposer que $P$ est l’intersection d’une suite $(G_n)$ d’ensembles ouverts dans un espace compact métrisable $M$, telle que $G_0 = M$. Chaque ensemble $G_n$ est alors réunion d’une suite croissante $(K_{nm})_{m \geq 1}$ d’ensembles compacts dans $M$ (IX, p. 16, prop. 7).

Il est clair que $Y$ est capacitable si $f(Y) = -\infty$. Supposons donc $f(Y) > -\infty$, et soit $a$ un nombre réel tel que $f(Y) > a$. Tout revient à prouver qu’il existe un ensemble compact $K \subset Y$ tel que $f(K) > a$. À cet effet, nous allons construire par récurrence une suite décroissante $(T_n)$ de parties compactes de $M$, telles que l’on ait

(1) $T_n \subset G_n$ et $f(p(P \cap T_n)) > a$ pour tout $n$.

Nous prendrons $T_0 = M$. Supposons faite la construction de $T_n$; les ensembles compacts $K_{n+1,m}$ (pour $m \geq 1$) forment un recouvrement de $G_{n+1}$, donc aussi de $P \cap T_n$; l’ensemble $P \cap T_n$ est donc réunion croissante des

en vertu de (CA$_{\Pi}$) et de (1), il existe un entier $k$ tel que

il suffit alors de poser $T_{n+1} = T_n \cap K_{n+1,k}$ pour satisfaire à (1) où $n$ est remplacé par $n + 1$, et la récurrence peut se poursuivre.

Posons $T = \bigcap_n T_n$; l’ensemble compact $T$ est contenu dans $\bigcap_n G_n = P$, et $K = p(T)$ est donc un ensemble compact contenu dans $Y$. Soit $U$ un ensemble ouvert dans $X$ et contenant $K$; l’ensemble $V = p^{-1}(U)$ est ouvert dans $P$ et contient $T$, et il existe un ensemble $V'$ ouvert dans $M$ et tel que $P \cap V' = V$. Comme $V'$ contient $T$, il existe $n_0$ tel que $T_n \subset V'$ pour $n \geq n_0$ (I, p. 60, th. 1 appliqué à $T_1$), donc $V$ contient $P \cap T_n$ et $U$ contient alors $p(P \cap T_n)$. Il en résulte en particulier que $f(U) > a$; comme $U$ est un ouvert quelconque contenant $K$, la condition (CA$_{\mathrm{III}}$) entraîne $f(K) \geq a$.

C.Q.F.D.