Corollaire 2

Soient X un ensemble, $\mathscr{S}$ un ensemble de parties de X et G un groupe topologique. Supposons que les structures uniformes droite et gauche (III, p. 19) de G soient identiques. Alors la topologie de la $\mathscr{S}$-convergence sur $\mathscr{F}(X, G)$ est compatible avec la structure de groupe de $\mathscr{F}(X, G)$ déduite de l’identification à $G^X$ (A, I, p. 43).

Soient $\mu : G \times G \to G$ et $\tilde{\mu} : \mathscr{F}_{\mathscr{S}}(X, G) \times \mathscr{F}_{\mathscr{S}}(X, G) \to \mathscr{F}_{\mathscr{S}}(X, G)$ les applications définies respectivement par $\mu(x, y) = xy^{-1}$ et $\tilde{\mu}(u, v) = u \cdot v^{-1}$. L’application $\mu$ est uniformément continue; soient en effet $x, x', y, y' \in G$ et V un voisinage de l’élément neutre $e$ de G; il existe un voisinage W de $e$ tel que, si $z, z' \in W^2$, alors $z'z \in V$. Si ${x'}^{-1}x \in W$ et $y^{-1}y' \in W$, alors ${x'}^{-1}xy^{-1}y' \in W^2$, donc $\mu(x', y')^{-1}\mu(x, y) \in V$. L’application $\tilde{\mu}$ est la composée de deux applications uniformément continues: la bijection canonique

(cor. 1) et l’application $w \mapsto \mu \circ w$ de $\mathscr{F}_{\mathscr{S}}(X, G \times G)$ dans $\mathscr{F}_{\mathscr{S}}(X, G)$ (prop. 4). D’où la continuité de $\tilde{\mu}$ et le corollaire d’après (III, p. 1).