Corollaire 1

Soient $X$ un espace topologique (resp. uniforme), $Y$ un espace uniforme séparé, $H$ une partie équicontinue (resp. uniformément équicontinue) de $C(X; Y)$. Supposons $H(x)$ relativement compact dans $Y$ pour tout $x \in X$. Alors $H$ est relativement compact dans $C(X; Y)$ muni de la topologie de la convergence compacte (resp. précompacte).

Soit $\overline{H}$ l’adhérence $H$ dans $\mathscr{F}_s(X; Y)$, qui est encore un ensemble équicontinu (resp. uniformément équicontinu) (X, p. 15, prop. 6). En outre, on a $\overline{H}(x) \subset \overline{H(x)}$ (X, p. 3, Remarque 6), donc $\overline{H}(x)$ est encore relativement compact; le th. 2 (X, p. 17) montre donc que $\overline{H}$ est précompact pour la $\mathfrak{S}$-convergence, en désignant par $\mathfrak{S}$ l’ensemble des parties compactes (resp. précompactes) de $X$. En outre, comme $\overline{H(x)}$ est compact, donc complet, $\overline{H}$ est complet pour la structure uniforme de la convergence simple (II, p. 17, prop. 10 et II, p. 16, prop. 8), donc aussi pour la structure uniforme de la $\mathfrak{S}$-convergence (X, p. 7, cor. 2); $\overline{H}$ est donc compact, puisqu’il est précompact, complet et séparé (X, p. 3, prop. 1).