Corollaire 2

Soient $X$ un espace topologique (resp. uniforme), $Y$ un espace uniforme séparé et complet, $H$ une partie équicontinue (resp. uniformément équicontinue) de $C(X; Y)$. On suppose que $H(x)$ est relativement compact dans $Y$ pour tout point $x$ appartenant à une partie partout dense $D$ de $X$. Alors $H$ est relativement compact dans $C(X; Y)$ muni de la topologie de la convergence compacte (resp. précompacte).

Tout revient à prouver que pour tout $x \in X$, $H(x)$ est relativement compact, car alors on peut appliquer le cor. 1. Comme $Y$ est complet, il suffit de voir que $H(x)$ est précompact pour tout $x \in X$. Or, pour tout entourage symétrique $V$ de $Y$, il existe un voisinage $U$ de $x$ tel que, pour tout $x' \in U$ et tout $u \in H$, on ait $(u(x), u(x')) \in V$. Par hypothèse, il existe $x' \in U \cap D$, et comme $H(x')$ est relativement compact dans $Y$, il existe un nombre fini de points $y_k \in Y$ tels que $H(x')$ soit contenu dans la réunion des ensembles $V(y_k)$; alors $H(x)$ est contenu dans la réunion des ensembles $\overline{V}(y_k)$, ce qui achève la démonstration.