Corollaire 3

Soient $X$ un espace localement compact, $Y$ un espace uniforme séparé, $H$ une partie de $C(X; Y)$. Pour que $H$ soit relativement compact dans $C_c(X; Y)$, il faut et il suffit que $H$ soit équicontinu et que, pour tout $x \in X$, $H(x)$ soit relativement compact dans $Y$.

Compte tenu du cor. 1, il suffit de montrer que si $H$ est relativement compact dans $C_c(X; Y)$, alors $H$ est équicontinu; or tout point $x \in X$ admet un voisinage compact $A$, et il résulte du th. 2 (X, p. 17) que $H|A$ est équicontinu, ce qui entraîne que $H$ est équicontinu au point $x$; d’où la conclusion.