Proposition 1

Soient X un espace compact, H un ensemble de fonctions continues numériques définies dans X. Soit f une fonction numérique continue dans X, et telle que,

¹ Les fonctions numériques dont il sera question dans ce paragraphe seront toujours supposées finies.

pour tout $x \in X$, il existe une fonction $u_x \in H$ telle que $u_x(x) > f(x)$ (resp. $u_x(x) < f(x)$). Alors il existe un nombre fini de fonctions $u_{x_i} = f_i \in H$ ($1 \leq i \leq n$) telles que, si on pose $v = \sup(f_1, f_2, \ldots, f_n)$ (resp. $w = \inf(f_1, f_2, \ldots, f_n)$) on ait $v(x) > f(x)$ (resp. $w(x) < f(x)$) pour tout $x \in X$.

En effet, pour tout $x \in X$, soit $G_x$ l’ensemble ouvert des $z \in X$ tels que $u_x(z) > f(z)$ (resp. $u_x(z) < f(z)$); comme $x \in G_x$ par hypothèse, $X$ est réunion des $G_x$ lorsque $x$ parcourt $X$. Comme $X$ est compact, il existe un nombre fini de points $x_i$ ($1 \leq i \leq n$) tels que les $G_{x_i}$ forment un recouvrement de $X$; il est clair que les fonctions $f_i = u_{x_i}$ répondent à la question.