Théorème 1 (Dini)

Soient $X$ un espace compact, $H$ un ensemble filtrant pour la relation $\leq$ (resp. $\geq$) de fonctions numériques continues dans $X$. Si l’enveloppe supérieure (resp. inférieure) $f$ de $H$ est finie et continue dans $X$, $f$ peut être approchée uniformément par des fonctions de $H$ (ou, ce qui revient au même, le filtre des sections de $H$ converge uniformément vers $f$ dans $X$).

En effet, étant donné $\varepsilon > 0$ arbitraire, pour tout $x \in X$ il existe une fonction $u_x \in H$ telle que $u_x(x) > f(x) - \varepsilon$. D’après la prop. 1 et comme $H$ est filtrant pour la relation $\leq$, il existe $g \in H$ telle que $g(x) > f(x) - \varepsilon$ pour tout $x \in X$; comme, d’autre part, on a $g(x) \leq f(x)$ par définition, le théorème est démontré.