Corollaire 2

Soient $X$ un espace localement compact, $\mathscr{C}_0(X)$ l’algèbre normée sur $\mathbf{C}$ des applications continues de $X$ dans $\mathbf{C}$, tendant vers $0$ à l’infini. Soit $A$ une sous-algèbre de $\mathscr{C}_0(X)$, séparant les points de $X$, telle que pour tout $x \in X$, il existe $f \in A$ pour laquelle $f(x) \neq 0$, et telle que la relation $f \in A$ entraîne $\bar{f} \in A$. Alors $A$ est dense dans $\mathscr{C}_0(X)$.

Si $X'$ est l’espace compact obtenu par adjonction à $X$ d’un point à l’infini $\omega$, $\mathscr{C}_0(X)$ s’identifie au sous-espace de $\mathscr{C}(X'; \mathbf{C})$ formé des applications continues nulles au point $\omega$, la norme sur $\mathscr{C}_0(X)$ étant définie par

En vertu de la prop. 7 (X, p. 39), toute fonction $f \in \mathscr{C}_0(X)$ peut être approchée uniformément par des polynômes à coefficients complexes, par rapport à des fonctions appartenant à $A$; en outre, comme $f(\omega) = 0$, le raisonnement de X, p. 37, prop. 4 montre qu’on peut supposer ces polynômes sans terme constant et alors ils appartiennent à $A$.

Comme autre exemple d’application de la prop. 7, citons le résultat suivant: