Bài tập 1, § 1

(a) Chứng minh rằng một nhóm G không thể là hợp của hai nhóm con phân biệt với G. Chứng minh rằng, với mọi tập hợp I có ít nhất hai phần tử, nhóm giao hoán $G = F_2^{(I)}$ là hợp của ba nhóm con phân biệt với G.

(b) Cho $(H_i)_{i \in I}$ là một họ hữu hạn các nhóm con của một nhóm G sao cho mỗi $H_i$ là một nhóm con của G có chỉ số vô hạn. Chứng minh rằng G không thể là hợp của một số hữu hạn các lớp ghép trái của các $H_i$. (Lập luận bằng quy nạp theo số phần tử của I; nếu tồn tại hai chỉ số phân biệt i, j sao cho chỉ số $(H_i : (H, nH_j))$ là hữu hạn, H có thể được loại bỏ; nếu ngược lại $H_i \cap H_j$ có chỉ số vô hạn trong H, với mọi cặp có thứ tự (i, j) của các chỉ số phân biệt, xét một chỉ số k sao cho $H_k$ là cực đại trong tập hợp các $H_i$ và chứng minh rằng $H_k$ là hợp của một số hữu hạn các lớp ghép trái của $H_k \cap H_i$ với $i \neq k$.)

(c) Cho một ví dụ về một vành giao hoán A và bốn iđêan $a, b_1, b_2, b_3$ của A sao cho $a \notin b_i$ ($i = 1, 2, 3$), nhưng $a = \bigcup_i b_i$ (sử dụng (a)).