Exercice 1, § 1

a) Montrer qu’un groupe $\dot{G}$ ne peut être réunion de deux sous-groupes distincts de G. Montrer que, pour tout ensemble I ayant au moins 2 éléments, le groupe commutatif $G = F_2^{(I)}$ est réunion de trois sous-groupes distincts de G.

b) Soit $(H_i)_{i \in I}$ une famille finie de sous-groupes d’un groupe G, telle que chacun des $H_i$ soit un sous-groupe de G d’indice infini. Montrer que G ne peut être réunion d’un nombre fini de classes à gauche suivant les $H_i$. (Raisonner par récurrence sur le nombre des éléments de I ; s’il existe deux indices distincts $i, j$ tels que l’indice $(H_i : (H_i \cap H_j))$ soit fini, on peut supprimer $H_i$ ; si au contraire $H_i \cap H_j$ est d’indice infini dans $H_i$ pour tout couple $(i, j)$ d’indices distincts, considérer un indice $k$ tel que $H_k$ soit maximal dans l’ensemble des $H_i$, et montrer que $H_k$ est réunion d’un nombre fini de classes à gauche suivant les $H_k \cap H_i$ pour $i \neq k$.)

c) Donner un exemple d’anneau commutatif A et de quatre idéaux $a, b_1, b_2, b_3$ de A tels que $a \not\subset b_i$ ($i = 1, 2, 3$), mais $a = \bigcup_i b_i$ (utiliser a)).