Bài tập 5, § 1

(a) Cho A là một vành Noether và $a$ là một iđêan của A. Chứng minh rằng tồn tại một số hữu hạn iđêan nguyên tố $p_i$ ($1 \leq i \leq r$) sao cho $p_1 p_2 \ldots p_r \subset a$. (Lập luận bằng phản chứng bằng cách xét trong các iđêan chứa a, phân biệt với A và không chứa một tích hữu hạn các iđêan nguyên tố nào, một phần tử cực đại;

mặt khác, nhận xét rằng, nếu iđêan b không nguyên tố, thì tồn tại hai iđêan c, d chứa b, phân biệt với b và thỏa mãn cb ⊂ b.) (Xem Chương IV.)

Nếu A là một miền nguyên và a ≠ 0, ta có thể giả sử rằng các $p_i \neq 0$.

(b) Cho một ví dụ về một vành không Noether A mà đối với nó kết quả của (a) là sai. (Chẳng hạn lấy A là vành các hàm liên tục nhận giá trị thực trên [0, 1].)