Exercice 5, § 1

a) Soient A un anneau noethérien, $a$ un idéal de A. Montrer qu’il existe un nombre fini d’idéaux premiers $p_i$ ($1 \leq i \leq r$) tels que $p_1 p_2 \ldots p_r \subset a$.

(Raisonner par l’absurde en considérant parmi les idéaux contenant $a$, distincts de $A$, et qui ne contiennent aucun produit fini d’idéaux premiers, un élément maximal ; observer d’autre part que, si l’idéal $b$ n’est pas premier, il existe deux idéaux $c, d$ contenant $b$, distincts de $b$ et tels que $cd \subset b.$ (Cf. chap. IV.)

Si $A$ est intègre et $a \neq 0$, on peut supposer les $p_i \neq 0$.

b) Donner un exemple d’anneau non noethérien $A$ pour lequel le résultat de a) est en défaut. (Prendre par exemple $A$ égal à l’anneau des fonctions numériques continues dans $[0, 1].$)