Bài tập 6, § 1

(a) Cho A là một vành và a, b là hai iđêan của A sao cho b sinh hữu hạn; hãy chỉ ra rằng, nếu các vành thương A/a và A/b là Noether, thì A/ab cũng là Noether (nhận xét rằng b/ab là một (A/a)-môđun sinh hữu hạn).

(b) Hãy chỉ ra rằng, nếu một vành A sao cho mọi iđêan nguyên tố của A đều sinh hữu hạn, thì A là Noether. (Lập luận bằng phản chứng bằng cách chỉ ra rằng trong tập hợp các iđêan của A không sinh hữu hạn sẽ có một phần tử cực đại c không là nguyên tố theo giả thiết; do đó sẽ có hai iđêan a ⊃ c, b ⊃ c phân biệt với c và thỏa mãn ab ⊂ c; sau đó dùng (a).)