Exercice 6, § 1

a) Soient $A$ un anneau, $a, b$ deux idéaux de $A$ tels que $b$ soit de type fini ; montrer que, si les anneaux quotients $A/a$ et $A/b$ sont noethériens, il en est de même de $A/ab$ (observer que $b/ab$ est un $(A/a)$-module de type fini).

b) Montrer que, si un anneau $A$ est tel que tout idéal premier de $A$ soit de type fini, $A$ est noethérien. (Raisonner par l’absurde, en montrant que, dans l’ensemble des idéaux de $A$ non de type fini, il existerait un élément maximal $c$, non premier par hypothèse ; il y aurait donc deux idéaux $a \supset c, b \supset c$, distincts de $c$ et tels que $ab \subset c$ ; utiliser alors a).)