Bài tập 8, § 1

(a) Cho a, b là hai iđêan nguyên tố cùng nhau của một vành A. Chứng minh rằng a: b = a, b: a = b. Nếu c là một iđêan của A sao cho ac ⊂ b, thì c ⊂ b.

(b) Cho p, q là hai iđêan nguyên tố mà không iđêan nào được chứa trong iđêan kia; khi đó p: q = p và q: p = q. Hãy cho một ví dụ về hai iđêan nguyên tố chính p, q trong vành đa thức A = K[X, Y ] (trong đó K là một trường), không iđêan nào được chứa trong iđêan kia và không nguyên tố cùng nhau.

(c) Cho a là một phần tử không phải là ước của 0 trong A. Chứng minh rằng, nếu iđêan chính p = Aa là nguyên tố, thì quan hệ p = bc với hai iđêan b, c của A suy ra b = A hoặc c = A.