Exercice 8, § 1

a) Soient $a, b$ deux idéaux étrangers dans un anneau $A$. Montrer que l’on a $a : b = a, b : a = b$. Si $c$ est un idéal de $A$ tel que $ac \subset b$, on a $c \subset b$.

b) Soient $p, q$ deux idéaux premiers dont aucun n’est contenu dans l’autre ; on a $p : q = p$ et $q : p = q$. Donner un exemple de deux idéaux $p, q$ premiers et principaux dans l’anneau de polynômes $A = K[X, Y]$ (où $K$ est un corps), dont aucun n’est contenu dans l’autre et qui ne sont pas étrangers.

$c)$ Soit $a$ un élément non diviseur de $0$ dans $A$. Montrer que, si l’idéal principal $p = Aa$ est premier, la relation $p = bc$ pour deux idéaux $b, c$ de $A$ entraîne $b = A$ ou $c = A$.