Bài tập 9, § 1

(a) Cho $(\mathfrak{a}_i)_{i=1}^n$ là một họ hữu hạn các iđêan của một vành $A$ từng đôi nguyên tố cùng nhau và sao cho không có $\mathfrak{a}_i$ nào có dạng $b c = b \cap c$, trong đó $b$ và $c$ là hai iđêan nguyên tố cùng nhau. Nếu $(\mathfrak{a}'_j)_{1 \leq j \leq m}$ là một họ iđêan khác của $A$ từng đôi nguyên tố cùng nhau, sao cho $a_1 a_2 \ldots a_n = a'_1 a'_2 \ldots a'_m$, chứng minh rằng $m \leq n$; nếu $r n = n$, tồn tại một phép hoán vị $\pi$ trên $[1, n]$ sao cho $a'_i = a_{\pi(i)}$ với $1 \leq i \leq n$ (sử dụng Mệnh đề 5 và Đại số, Chương VIII, § 1, Bài tập 1 (d)).

(b) Cho $A$ là một vành Noether. Chứng minh rằng mọi iđêan $\mathfrak{a}$ của $A$ đều bằng tích của một số hữu hạn các iđêan từng đôi nguyên tố cùng nhau, không có iđêan nào trong số đó là tích của hai iđêan nguyên tố cùng nhau. (Lập luận bằng phản chứng, xét một phần tử cực đại của tập hợp các iđêan không có tính chất này.)