Exercice 9, § 1

a) Soit $(a_i)_{1 \leq i \leq n}$ une famille finie d’idéaux deux à deux étrangers d’un anneau $A$, telle qu’aucun $a_i$ ne soit de la forme $bc = b \cap c$, où $b$ et $c$ sont deux idéaux étrangers. Si $(a'_j)_{1 \leq j \leq m}$ est une seconde famille d’idéaux deux à deux étrangers de $A$, telle que $a_1 a_2 \ldots a_n = a'_1 a'_2 \ldots a'_m$, montrer que l’on a $m \leq n$; si $m = n$, il existe une permutation $\pi$ de $\{1, n\}$ telle que $a'_i = a_{\pi(i)}$ pour $1 \leq i \leq n$ (utiliser la prop. 5, ainsi que Alg., chap. VIII, § 1, exerc. 1 d)).

b) Soit $A$ un anneau nœthérien. Montrer que tout idéal $a$ de $A$ est égal au produit d’un nombre fini d’idéaux deux à deux étrangers, dont aucun n’est le produit de deux idéaux étrangers. (Raisonner par l’absurde, en considérant un élément maximal de l’ensemble des idéaux n’ayant pas cette propriété.)