Bài tập 13, § 2

Cho A là một vành. (a) Cho một chứng minh khác của Bài tập 6 (b) của Đại số, Chương VIII, § 6, bằng cách xét ảnh của đa thức $f$ trong các vành $(A/p)[X]$, trong đó $p$ chạy qua tập hợp các iđêan nguyên tố của A. (b) Cho $N$ là một ma trận bình phương cấp $r$ trên A; để $N$ lũy linh, điều kiện cần và đủ là mỗi hệ số (khác hệ số đầu) của đa thức đặc trưng của nó cũng lũy linh. (Để thấy rằng điều kiện là cần, hãy dùng cùng phương pháp như trong (a); để thấy rằng điều kiện là đủ, hãy dùng định lý Cayley-Hamilton.) (c) Chứng minh rằng, với mọi cặp có thứ tự của các số nguyên dương $k, r$, tồn tại một số nguyên dương nhỏ nhất $m(k, r)$ độc lập với vành A sao cho quan hệ $N^k = 0$ kéo theo $(\mathrm{Tr}(N))^{m(k, r)} = 0$. (Xét vành $A = \mathbf{Z}[T_{ij}]$, trong đó các $T_{ij}$ là $r^2$ phần tử bất định, ma trận $X = (T_{ij})$ trên A và phần tử $t = \sum_{i=1}^r T_{ii} = \mathrm{Tr}(X)$ của A; nếu $a$ là iđêan của A sinh bởi các phần tử của $X^k$, hãy chứng minh, với sự trợ giúp của (b), rằng tồn tại một số nguyên $m$ sao cho $t^m \in a_{k,r}$) (d) Chứng minh rằng $m(2, 2) = 4$.