Exercice 13, § 2

Soit $A$ un anneau.

a) Donner une autre démonstration de l'exerc. 6 b) d'Alg., chap. VIII, § 6, en considérant les images du polynôme $f$ dans les anneaux $(A/p)[X]$, où $p$ parcourt l'ensemble des idéaux premiers de $A$.

b) Soit $N$ une matrice carrée d'ordre $r$ sur $A$; pour que $N$ soit nilpotente, il faut et il suffit que chacun des coefficients (autres que le coefficient dominant) de son polynôme caractéristique le soit. (Pour voir que la condition est nécessaire, utiliser la même méthode que dans $a$); pour voir qu'elle est suffisante, utiliser le th. de Hamilton-Cayley).

c) Montrer que, pour tout couple d'entiers positifs $k, r$, il existe un plus petit entier positif $m(k, r)$ indépendant de l'anneau $A$, tel que la relation $N^k = 0$ entraîne $(\mathrm{Tr}(N))^{m(k, r)} = 0$. (Considérer l'anneau $\Lambda = \mathbf{Z}[T_{ij}]$, où les $T_{ij}$ sont $r^2$ indéterminées, la matrice $X = (T_{ij})$ sur $\Lambda$ et l'élément $t = \sum_{i=1}^r T_{ii} = \mathrm{Tr}(X)$ de $\Lambda$; si $\mathfrak{a}_k$ est l'idéal de $\Lambda$ engendré par les éléments de $X^k$, montrer, à l'aide de b), qu'il existe un entier $m$ tel que $t^m \in \mathfrak{a}_k$.)

d) Montrer que $m(2, 2) = 3$.