Bài tập 14, § 2

(a) Cho A là một vành Noether trái (không nhất thiết giao hoán) và $a$ là một iđêan trái của A. Giả sử tồn tại một iđêan trái $b \neq 0$ sao cho $a \cap b = 0$. Chứng minh rằng mọi phần tử $a \in a$ đều là một ước phải của $0$. (Lấy $b \neq 0$ là một phần tử của $b$ và lấy $a_1 = Ab + Aba + \ldots + Aba^n$; xét số nguyên nhỏ nhất $n$ sao cho $a_n = a_{n+1}$.

(b) Cho $E$ là một không gian vectơ vô hạn chiều trên một trường $K$ và A là vành $\mathrm{End}_K(E)$. Hãy cho một ví dụ về hai phần tử $u, v$ của A sao cho cả $u$ lẫn $v$ đều không là một ước phải của $0$ và $Au \cap Av = 0$.