Exercice 14, § 2

a) Soient $A$ un anneau (non nécessairement commutatif) noethérien à gauche, $a$ un idéal à gauche de $A$. On suppose qu'il existe un idéal à gauche $b \neq 0$ tel que $a \cap b = 0$.

Montrer que tout élément $a \in a$ est diviseur à droite de 0. (Soit $b \neq 0$ un élément de $b$, et soit $a_n = Ab + Aba + \cdots + Aba^n$; considérer le plus petit entier $n$ tel que $a_n = a_{n+1}$).

b) Soient $E$ un espace vectoriel de dimension infinie sur un corps $K$, et $A$ l'anneau $\mathrm{End}_K(E)$. Donner un exemple de deux éléments $u, v$ de $A$ tels que ni $u$ ni $v$ ne soient diviseurs à droite de 0, et $Au \cap Av = 0$.