Bài tập 15, § 2

Cho $X$ là một không gian tôpô hoàn toàn chính quy và $\beta X$ là compact hóa Stone-Čech của nó (Tôpô đại cương, Chương IX, § 1, bài tập 7). Với mọi $x \in X$, gọi $\mathfrak{g}(x)$ là iđêan cực đại của vành $\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$ gồm những $f \in \mathscr{C}(X; \mathbf{R})$ sao cho $x$ thuộc bao đóng của tập con $\overline{f}(0)$ của $X$ (Tôpô đại cương, Chương X, § 4, bài tập 15); gọi $\mathfrak{u}(x)$ là iđêan gồm những $f \in \mathscr{C}(X; \mathbf{R})$ sao cho $\overline{f}(0)$ là vết trên $X$ của một lân cận của $x$ trong $X$; $\mathfrak{u}(x)$ bằng căn của nó.

Một iđêan $a$ của $\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$ được gọi là cô lập (resp. cô lập tuyệt đối) nếu, với mọi $f \geq 0$ trên $a$, mọi $g$ sao cho $0 \leq g \leq f$ (resp. $|g| \leq f$) đều thuộc $a$ (xem Đại số, Chương IV, § 1, bài tập 4); khi đó $\mathscr{C}(X; \mathbf{R})/a$ có một cấu trúc cấp (resp. một cấu trúc dàn-cấp) tương thích với cấu trúc vành của nó và trong đó các phần tử $\geq 0$ là các lớp mod. $a$ của các phần tử $\geq 0$ của $\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$ (loc. cit.).

(a) Chứng minh rằng một iđêan $a$ của $\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$ bằng căn của nó là cô lập tuyệt đối (nếu $f \in a$ và $|g| \leq |f|$, xét hàm bằng 0 khi $f(x) = 0$ và bằng $(g(x))^2/f(x)$ khi $f(x) \neq 0$). Trong trường hợp này, để $\mathscr{C}(X; \mathbf{R})/a$ được sắp thứ tự toàn phần, điều kiện cần và đủ là $a$ nguyên tố; khi đó tập hợp các iđêan nguyên tố của $\mathscr{C}(X; \mathbf{R})/a$ được sắp thứ tự toàn phần theo quan hệ bao hàm.

(b) Để một iđêan cô lập $a$ của $\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$ sao cho $\mathscr{C}(X; \mathbf{R})/a$ được sắp thứ tự toàn phần, điều kiện cần là $a$ được chứa trong một iđêan cực đại duy nhất $\mathfrak{g}(x)$ và khi đó $a$ nhất thiết chứa $\mathfrak{u}(x)$; điều kiện đủ là $a$ chứa một iđêan nguyên tố và khi đó $a$ là cô lập tuyệt đối (chú ý rằng quan hệ $fg = 0$ khi đó kéo theo $f \in a$ hoặc $g \in a$).

(c) Lấy $X = \mathbf{R}$, $x = 0$; chứng minh rằng iđêan chính sinh bởi hàm $t \mapsto |t|$ được chứa trong $\mathfrak{g}(0)$ và chứa $\mathfrak{u}(0)$ nhưng không cô lập; iđêan chính sinh bởi ánh xạ đồng nhất $t \mapsto t$ được chứa trong $\mathfrak{g}(0)$, chứa $\mathfrak{u}(0)$ và cô lập nhưng không cô lập tuyệt đối.

(d) Chứng minh rằng, nếu $p$ và $q$ là hai iđêan nguyên tố trong $\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$, thì $pq = p \cap q$ (và đặc biệt $p^2 = p$) và $p + q$ là nguyên tố hoặc bằng $\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$. (Nếu $p + q \neq \mathscr{C}(X; \mathbf{R})$, nhận xét rằng $p + q$ là tuyệt đối cô lập và bằng căn của nó và sử dụng (a).)

(e) Để $\mathfrak{u}(x)$ là nguyên tố, điều kiện cần và đủ là, với mọi hàm $f \in \mathscr{C}(X; \mathbf{R})$, bao đóng trong $\beta X$ của một trong hai tập hợp $\overline{f^1}([0, +\infty[)$, $\overline{f^1}([-\infty, 0])$ là một lân cận của $x$. Suy ra một ví dụ trong đó $\mathfrak{u}(x)$ là nguyên tố và không cực đại (xét không gian tôpô liên kết với một siêu lọc tầm thường; xem Tôpô đại cương, chương I, § 6, Bài tập 5).

(f) Giả sử rằng $x \in X$. Để $\mathscr{U}(x) = \mathfrak{F}(x)$, điều kiện cần và đủ là mọi giao đếm được của các lân cận của $x$ trong $X$ đều là một lân cận của $x$ trong $X$. (Xem Tôpô đại cương, chương I, § 7, Bài tập 7.)

(g) Chứng minh rằng $\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$ được đồng nhất một cách chính tắc với vành phân thức toàn thể của $\mathscr{C}^\infty(X; \mathbf{R})$.