Exercice 15, § 2

Soient $X$ un espace topologique complètement régulier, $\beta X$ son compactifié de Stone-Čech ($Top.$ gén., chap. IX, 2e éd., § 1, exerc. 7). Pour tout $x \in \beta X$, on désigne par $\mathfrak{J}(x)$ l'idéal maximal de l'anneau $\mathscr{C}(X ; \mathbf{R})$ formé des $f \in \mathscr{C}(X ; \mathbf{R})$ telles que $x$ soit adhérent au sous-ensemble $f^{-1}(0)$ de $X$ ($Top.$ gén., chap. X, 2e éd., § 4, exerc. 15); on désigne par $\mathfrak{U}(x)$ l'idéal formé des $f \in \mathscr{C}(X ; \mathbf{R})$ telles que $f(0)$ soit la trace sur $X$ d'un voisinage de $x$ dans $\beta X$; $\mathfrak{U}(x)$ est égal à sa racine.

On dit qu'un idéal $a$ de $\mathscr{C}(X ; \mathbf{R})$ est isolé (resp. absolument isolé) si, pour tout $f \geq 0$ dans $a$, tout $g$ tel que $0 \leq g \leq f$ (resp. $|g| \leq f$) appartient à $a$ (cf. Alg., chap. VI, § 1, exerc. 4); alors $\mathscr{C}(X ; \mathbf{R})/a$ est muni d'une structure d'ordre (resp. d'une structure d'ordre réticulée) compatible avec sa structure d'anneau et pour laquelle les éléments $\geq 0$ sont les classes mod. $a$ des éléments $\geq 0$ de $\mathscr{C}(X ; \mathbf{R})$ (loc. cit.).

a) Montrer qu’un idéal $\alpha$ de $\mathscr{C}(X ; \mathbf{R})$ égal à sa racine est absolument isolé (si $f \in \alpha$ et $|g| \leq |f|$, considérer la fonction égale à 0 pour $f(x) = 0$, à $(g(x))^2/f(x)$ pour $f(x) \neq 0$). Pour que dans ce cas $\mathscr{C}(X ; \mathbf{R})/\alpha$ soit totalement ordonné, il faut et il suffit que $\alpha$ soit premier ; l’ensemble des idéaux premiers de $\mathscr{C}(X ; \mathbf{R})/\alpha$ est alors totalement ordonné par inclusion.

b) Pour qu’un idéal isolé $\alpha$ de $\mathscr{C}(X ; \mathbf{R})$ soit tel que $\mathscr{C}(X ; \mathbf{R})/\alpha$ soit totalement ordonné, il est nécessaire que $\alpha$ soit contenu dans un seul idéal maximal $\mathfrak{J}(x)$, et alors $\alpha$ contient nécessairement $\mathscr{U}(x)$ ; il est suffisant que $\alpha$ contienne un idéal premier, et alors $\alpha$ est absolument isolé (remarquer que la relation $fg = 0$ implique alors $f \in \alpha$ ou $g \in \alpha$).

c) On prend $X = \mathbf{R}$, $x = 0$ ; montrer que l’idéal principal engendré par la fonction $t \to |t|$ est contenu dans $\mathfrak{J}(0)$ et contient $\mathscr{U}(0)$, mais n’est pas isolé ; l’idéal principal engendré par l’application identique $t \to t$ est contenu dans $\mathfrak{J}(0)$, contient $\mathscr{U}(0)$ et est isolé, mais non absolument isolé.

d) Montrer que, si $p$ et $q$ sont deux idéaux premiers dans $\mathscr{C}(X ; \mathbf{R})$, on a $pq = p \cap q$ (et en particulier $p^2 = p$) et $p + q$ est premier ou égal à $\mathscr{C}(X ; \mathbf{R})$. (Si $p + q \neq \mathscr{C}(X ; \mathbf{R})$, observer que $p + q$ est absolument isolé et égal à sa racine, et utiliser $a$.)

e) Pour que $\mathscr{U}(x)$ soit premier, il faut et il suffit que, pour toute fonction $f \in \mathscr{C}(X ; \mathbf{R})$, l’adhérence dans $\beta X$ de l’un des deux ensembles $\overline{f}([0, +\infty[), \overline{f}(-\infty, 0])$ soit un voisinage de $x$. En déduire un exemple où $\mathscr{U}(x)$ est premier et non maximal (considérer l’espace topologique associé à un ultrafiltre non trivial ; cf. Top. gén., chap. I, 3e éd., § 6, no 5).

f) On suppose que $x \in X$. Pour que $\mathscr{U}(x) = \mathfrak{J}(x)$, il faut et il suffit que toute intersection dénombrable de voisinages de $x$ dans $X$ soit un voisinage de $x$. (Cf. Top. gén., chap. I, 3e éd., § 7, exerc. 7.)

g) Montrer que $\mathscr{C}(X ; \mathbf{R})$ s’identifie canoniquement à l’anneau total des fractions de $\mathscr{C}^\infty(X ; \mathbf{R})$.