Bài tập 17, § 2

(*) Cho $A$ là một vành (không nhất thiết giao hoán) và $\mathscr{F}$ là một tập hợp tôpô hóa (Bài tập 16) gồm các iđêan trái của $A$. (a) Một $A$ (trái) -môđun $M$ được gọi là 9-không đáng kể nếu linh hóa tử của mọi phần tử của $M$ thuộc về $\mathscr{G}$ Nếu $M$ là $\mathscr{F}$-không đáng kể, thì mọi môđun con và mọi môđun thương của $M$ cũng vậy. Nếu $M$ và $N$ là hai $A$-môđun $\mathscr{F}$ không đáng kể, thì $M \oplus N$ là 9-không đáng kể. Để $A_s/m$ là 9-không đáng kể, điều kiện cần và đủ là $m \in \mathscr{G}$ Nếu $(0) \in \mathscr{G}$ thì mọi $A$-môđun đều là 9-không đáng kể; nếu chỉ gồm iđêan trái duy nhất $A_s$, thì mọi $A$-môđun $\mathscr{F}$-không đáng kể đều suy biến về 0. (b) Với mọi $A$-môđun $M$ tồn tại một môđun con 9-không đáng kể lớn nhất của $M$, được ký hiệu là $\mathscr{F}M$. Với mọi đồng cấu môđun $A$ $u : M \to N$, $u(\mathscr{F}M) \subset \mathscr{F}N$; gọi $\mathscr{F}u$ là ánh xạ từ $PM$ đến $\mathscr{F}N$ có đồ thị trùng với đồ thị của $u|_{\mathscr{F}M}$. Nếu

là một dãy khớp các $A$-môđun, thì dãy là khớp. Chứng minh rằng $\mathscr{F}A_s$ là một iđêan hai phía của $A$. (c) Cho $m, n$ là hai phần tử của $\mathscr{F}$ sao cho $m \subset n$; với mọi $A$-môđun trái $M$, đơn ánh chính tắc $j : m \to n$ xác định một đồng cấu nhóm giao hoán

(*) Các bài tập 17 đến 25 (chưa biên tập) được P. Gabriel gửi cho chúng tôi.

Nếu $\mathscr{F}$ được sắp thứ tự bởi quan hệ $\supseteq$, các $u_{m,n}$ xác định một hệ trực tiếp các nhóm giao hoán, mà giới hạn trực tiếp của nó sẽ được ký hiệu là $M_{(\mathscr{F})}$. Các ánh xạ $u_{m,A_s}$ tạo thành một hệ trực tiếp, mà giới hạn trực tiếp của nó là một ánh xạ (gọi là chính tắc) từ $M = \mathrm{Hom}_A(A_s, M)$ đến $M_{(\mathscr{F})}$. Tương tự, nếu $u : M \to N$ là một đồng cấu $A$-môđun trái, các $v_m = \mathrm{Hom}_A(1, u) : \mathrm{Hom}_A(m, M) \to \mathrm{Hom}_A(m, N)$ tạo thành một hệ trực tiếp, mà giới hạn trực tiếp của nó là một đồng cấu nhóm giao hoán

Nếu $0 \to M \xrightarrow{v} N \xrightarrow{w} P$ là một dãy khớp các $A$-môđun, thì dãy

là khớp.