Exercice 17, § 2

(*) Soient $A$ un anneau (non nécessairement commutatif), $\mathscr{F}$ un ensemble topologisant (exerc. 16) d’idéaux à gauche de $A$.

(*) Les exercices 17 à 25 (inédits) nous ont été communiqués par P. Gabriel.

a) On dit qu’un A-module (à gauche) M est $\mathscr{F}$-négligeable si l’annulateur de tout élément de M appartient à $\mathscr{F}$. Si M est $\mathscr{F}$-négligeable, il en est de même de tout sous-module et de tout module quotient de M. Si M et N sont deux A-modules $\mathscr{F}$-négligeables, $M \oplus N$ est $\mathscr{F}$-négligeable. Pour que $A_s/m$ soit $\mathscr{F}$-négligeable, il faut et il suffit que $m \in \mathscr{F}$. Si $(0) \in \mathscr{F}$, tout A-module est $\mathscr{F}$-négligeable ; si $\mathscr{F}$ est réduit au seul idéal à gauche $A_s$, tout A-module $\mathscr{F}$-négligeable est réduit à 0.

b) Pour tout A-module M, il existe un plus grand sous-module $\mathscr{F}$-négligeable de M que l’on note $\mathscr{F}M$. Pour tout homomorphisme $u : M \to N$ de A-modules, on a $u(\mathscr{F}M) \subset \mathscr{F}N$; soit $\mathscr{F}u$ l’application de $\mathscr{F}M$ dans $\mathscr{F}N$ dont le graphe coïncide avec celui de $u|_{\mathscr{F}M}$. Si

est une suite exacte de A-modules, la suite

est exacte. Montrer que $\mathscr{F}A_s$ est un idéal bilatère de A.

c) Soient $m, n$ deux éléments de $\mathscr{F}$ tels que $m \subset n$; pour tout A-module à gauche M, l’injection canonique $j : m \to n$ définit un homomorphisme de groupes commutatifs

Lorsqu’on ordonne $\mathscr{F}$ par la relation $\supset$, les $u_{u_m, m}$ définissent un système inductif de groupes commutatifs, dont on notera la limite inductive $M_{(\mathscr{F})}$. Les applications $u_{m, A_s}$ forment un système inductif, dont la limite inductive est une application (dite canonique) de $M = \operatorname{Hom}_A(A_s, M)$ dans $M_{(\mathscr{F})}$. De même, si $\varphi : M \to N$ est un homomorphisme de A-modules à gauche, les $\varphi_m = \operatorname{Hom}_A(1, \varphi) : \operatorname{Hom}_A(m, M) \to \operatorname{Hom}_A(m, N)$ forment un système inductif dont la limite inductive est un homomorphisme de groupes commutatifs $v_{(\mathscr{F})} : M_{(\mathscr{F})} \to N_{(\mathscr{F})}$. Si $0 \to M \xrightarrow{v} N \xrightarrow{w} P$

est une suite exacte de A-modules, la suite $0 \to M_{(\mathscr{F})} \xrightarrow{v_{(\mathscr{F})}} N_{(\mathscr{F})} \xrightarrow{w_{(\mathscr{F})}} P_{(\mathscr{F})}$

est exacte.