Bài tập 2, § 2

Cho $A$ là một vành và $S$ là một tập con nhân của $A$. Chứng minh rằng tập hợp $n$ gồm các $x \in A$ sao cho $sx = 0$ với một $s \in S$ nào đó là một iđêan của $A$. Đặt $A_n = A/n$ và ký hiệu $S_1$ là ảnh chính tắc của $S$ trong $A_n$. Chứng minh rằng không có phần tử nào của $S_1$ là một ước của 0 trong $A$, và rằng đồng cấu chính tắc $S^{-1}A \to S_1^{-1}A_1$ là song ánh.

Suy ra rằng, để $S^{-1}A$ là một $A$-môđun sinh hữu hạn, điều kiện cần và đủ là mọi phần tử của $S_1$ đều khả nghịch trong $A$, trong trường hợp đó $S^{-1}A$ được đồng nhất với $A$.