Exercice 2, § 2

Soient $A$ un anneau, $S$ une partie multiplicative de $A$. Montrer que l’ensemble $\mathfrak{n}$ des $x \in A$ tels que $sx = 0$ pour un $s \in S$ est un idéal de $A$. On pose $A_1 = A/\mathfrak{n}$ et on désigne par $S_1$ l’image canonique de $S$ dans $A_1$. Montrer qu’aucun élément de $S_1$ n’est diviseur de 0 dans $A_1$, et que l’homomorphisme canonique $S^{-1}A \to S_1^{-1}A_1$ est bijectif.

En déduire que, pour que $S^{-1}A$ soit un $A$-module de type fini, il faut

EXERCICES

et il suffit que tous les éléments de S_1 soient inversibles dans A_1, auquel cas S^{-1}A s'identifie à A_1.