Bài tập 20, § 2

Cho $\mathscr{F}$ là một tập hợp lũy đẳng và tôpô hóa của các iđêan trái của một vành $A$.

(a) Giả sử rằng mọi iđêan của $\mathscr{F}$ đều chứa một iđêan sinh hữu hạn thuộc $\mathscr{F}$. Cho $M$ là một $A$-môđun và $(N_i)_{i \in I}$ là một họ có hướng phải của các môđun con của $M$, có hợp là $M$. Chứng minh rằng $M_{\mathscr{F}}$ là hợp của các môđun con dưới-$A_{\mathscr{F}}$ của nó $(N_i)_{\mathscr{F}}$. Đặc biệt, đối với mọi họ $(M_\lambda)_{\lambda \in L}$ của các $A$-môđun, $\left( \bigoplus_{\lambda \in L} M_\lambda \right)_{\mathscr{F}}$ là đẳng cấu chính tắc với $\bigoplus_{\lambda \in L} (M_\lambda)_{\mathscr{F}}$.

(b) Giả sử điều kiện (a) được thỏa mãn và thêm rằng, đối với mọi đồng cấu toàn ánh $A$-môđun $u : M \to N$, $u_{\mathscr{F}} : M_{\mathscr{F}} \to N_{\mathscr{F}}$ là toàn ánh. Khi đó, ánh xạ chính tắc $A_{\mathscr{F}} \otimes_A M \to M_{\mathscr{F}}$ được xác định bởi phép toán ngoài trên $M_{\mathscr{F}}$ như một $A_{\mathscr{F}}$-môđun là một đẳng cấu $A_{\mathscr{F}}$-môđun (rút gọn nó về trường hợp $M$ là tự do); vành $A_{\mathscr{F}}$ là một $A$-môđun trái phẳng và các $A_{\mathscr{F}}$-môđun trái trùng với các $A$-môđun trái $M$ sao cho ánh xạ $j_M : M \to M_{\mathscr{F}}$ là song ánh.

(c) Giả sử rằng $A$ là một tích vô hạn $\prod_{t \in I} A_t$, của các vành; gọi e, là phần tử đơn vị của $A$, và lấy $\mathscr{F}$ là tập hợp các iđêan trái của $A$ chứa iđêan hai phía $a = \bigoplus_{t \in I} A_t$, (các $A_t$, được đồng nhất một cách chính tắc với các iđêan của $A$). Chứng minh rằng, đối với mọi $A$-môđun trái $M$, $M_{\mathscr{F}}$ được đồng nhất với tích $\prod_{t \in I} (e_t M)$ và đặc biệt $A_{\mathscr{F}} = A$. Suy ra rằng, đối với mọi đồng cấu $A$-môđun toàn ánh $u : M \to N$, $u_{\mathscr{F}} : M_{\mathscr{F}} \to N_{\mathscr{F}}$ là toàn ánh, nhưng hãy cho các ví dụ về các $A$-môđun $M$ sao cho $j_M$ không phải là song ánh.

(d) Giả sử rằng điều kiện (a) được thỏa mãn và thêm rằng $A$ là giao hoán. Chứng minh rằng, nếu $M$ là 9-không đáng kể, thì $M_{(\mathscr{F})} = 0$.