Exercice 20, § 2

Soit $\mathscr{F}$ un ensemble topologisant et idempotent d’idéaux à gauche d’un anneau A.

a) On suppose que tout idéal de $\mathscr{F}$ contient un idéal de type fini appartenant à $\mathscr{F}$. Soient M un A-module, $(N_i)_{i \in I}$ une famille filtrante croissante de sous-modules de M, dont la réunion est M. Montrer que $M_{\mathscr{F}}$ est réunion de ses sous-$A_{\mathscr{F}}$-modules $(N_i)_{\mathscr{F}}$. En particulier, pour toute famille $(M_\lambda)_{\lambda \in L}$ de A-modules, $\left( \bigoplus_{\lambda \in L} M_\lambda \right)_{\mathscr{F}}$ est canoniquement isomorphe à $\bigoplus_{\lambda \in L} (M_\lambda)_{\mathscr{F}}$.

b) On suppose vérifiée la condition de a), et en outre que, pour tout homomorphisme surjectif $u : M \to N$ de A-modules, $u_{\mathscr{F}} : M_{\mathscr{F}} \to N_{\mathscr{F}}$ soit surjectif. Alors, l’application canonique $A_{\mathscr{F}} \otimes_A M \to M_{\mathscr{F}}$ définie par la loi externe de $A_{\mathscr{F}}$-module de $M_{\mathscr{F}}$ est un isomorphisme de $A_{\mathscr{F}}$-modules (se ramener au cas où M est libre) ; l’anneau $A_{\mathscr{F}}$ est un A-module à gauche plat, et les $A_{\mathscr{F}}$-modules à gauche coïncident avec les A-modules à gauche M tels que l’application $j_M : M \to M_{\mathscr{F}}$ soit bijective.

c) On suppose que A est un produit infini $\prod_{i \in I} A_i$ d’anneaux ; on désigne par $e_i$ l’élément unité de $A_i$, et on prend pour $\mathscr{F}$ l’ensemble des idéaux à gauche de A contenant l’idéal bilatère $a = \bigoplus_{i \in I} A_i$ (les $A_i$ étant canoniquement identifiés à des idéaux de A). Montrer que, pour tout A-module à gauche M, $M_{\mathscr{F}}$ s’identifie au produit $\prod_{i \in I} (e_i M)$ et en particulier $A_{\mathscr{F}} = A$. En déduire que, pour tout A-homomorphisme surjectif $u : M \to N$, $u_{\mathscr{F}} : M_{\mathscr{F}} \to N_{\mathscr{F}}$ est surjectif, mais donner des exemples de A-modules M tels que $j_M$ ne soit pas bijectif.

d) On suppose vérifiée la condition de a), et en outre que A est commutatif. Montrer que, si M est $\mathscr{F}$-négligeable, $M_{(\mathscr{F})} = 0$.