Bài tập 21, § 2

Cho $A$ là một vành giao hoán và $\mathscr{F}$ là một tập hợp lũy đẳng và tôpô hóa của các iđêan của $A$. (a) Khi đó vành $A_{\mathscr{F}}$ là giao hoán (chú ý rằng, nếu $m \in \mathscr{F}$ và

thì $u(m^2) \subset m$; nếu $v$ là một phần tử khác của $\operatorname{Hom}_A(m, A)$, hãy chứng minh rằng với $x \in m, y \in m$. (b) Gọi $\mathscr{F}'$ là họ các iđêan $l'$ của $A_{\mathscr{F}}$ sao cho $A_{\mathscr{F}}/l'$ là 9-bỏ qua được (bài tập 19 (h)). Hãy chứng minh rằng ánh xạ $p \mapsto p_{\mathscr{F}}$ là một song ánh từ tập hợp các iđêan $p$ của $A$ không thuộc $\mathscr{F}$ lên tập hợp các iđêan nguyên tố của $A_{\mathscr{F}}$ không thuộc $\mathscr{F}'$. (Trước hết hãy chứng minh rằng, nếu $A$ là một miền nguyên thì $A_{\mathscr{F}}$ cũng là một miền nguyên, bằng cách đưa ra cùng chú ý như trong (a); sau đó dùng dãy khớp của Bài tập 19 (d) để chứng minh rằng $\mathfrak p_{\mathscr F}$ là nguyên tố. Nếu $\mathfrak p'$ là một iđêan nguyên tố của $A_{\mathscr F}$ không thuộc $\mathscr F'$ và $\mathfrak p=\bar j_A^{-1}(\mathfrak p')$, hãy nhớ rằng $\mathfrak p'=\mathfrak p_{\mathscr F}$.)

(c) Cho B là một đại số trên A và $\mathscr G$ là tập hợp các iđêan trái I của B sao cho $B_s/I$ là $\mathscr F$-bỏ qua được. Hãy chứng minh rằng $\mathscr G$ là tập hợp các iđêan trái của B chứa một iđêan có dạng $B\mathfrak m$, với $\mathfrak m\in\mathscr F$; suy ra rằng $\mathscr G$ là tôpô hóa và lũy đẳng và rằng, với mọi B-môđun N, $\mathscr F N=\mathscr G N$ và $N_{\mathscr F}$ được đồng nhất một cách chính tắc với $N_{\mathscr G}$.

(d) Cho S là một tập con nhân của A và $\mathscr F$ là tập hợp các iđêan của A gặp S. Hãy chứng minh rằng $\mathscr F$ là tôpô hóa và lũy đẳng và rằng, với mọi A-môđun M, $M_{(\mathscr F)}$ và $M_{\mathscr F}$ được đồng nhất một cách chính tắc với $S^{-1}M$ (chú ý rằng mọi iđêan của $\mathscr F$ chứa một iđêan chính $As$, với $s\in S$).