Exercice 21, § 2

Soient A un anneau commutatif, $\mathscr{F}$ un ensemble topologisant et idempotent d’idéaux de A.

a) L’anneau $A_{\mathscr{F}}$ est alors commutatif (remarquer que, si $m \in \mathscr{F}$ et $u \in \mathrm{Hom}_A(m, A)$, on a $u(m^2) \subset m$; si $v$ est un second élément de $\mathrm{Hom}_A(m, A)$, montrer que $v(u(xy)) = u(v(xy))$ pour $x \in m, y \in m$).

b) Soit $\mathscr{F}'$ la famille des idéaux $I'$ de $A_{\mathscr{F}}$ tels que $A_{\mathscr{F}}/I'$ soit $\mathscr{F}'$-négligeable (exerc. 19 h)). Montrer que l’application $p \to p_{\mathscr{F}}$ est une bijection de l’ensemble des idéaux premiers $p$ de $A$ n’appartenant pas à $\mathscr{F}$ sur l’ensemble des idéaux premiers de $A_{\mathscr{F}}$ n’appartenant pas à $\mathscr{F}'$. (Montrer d’abord que, si $A$ est intègre, il en est de même de $A_{\mathscr{F}}$, en utilisant la même remarque que dans $a$) ; utiliser ensuite la suite exacte de l’exerc. 19 $d$) pour montrer que $p_{\mathscr{F}}$ est premier. Si $p'$ est un idéal premier de $A_{\mathscr{F}}$ n’appartenant pas à $\mathscr{F}'$, et $p = j_A^{-1}(p')$, on rappelle que $p' = p_{\mathscr{F}}$.

c) Soient $B$ une $A$-algèbre, $\mathscr{G}$ l’ensemble des idéaux à gauche $I$ de $B$ tels que $B_s/I$ soit $\mathscr{F}$-négligeable. Montrer que $\mathscr{G}$ est l’ensemble des idéaux à gauche de $B$ contenant un idéal de la forme $B . m$, où $m \in \mathscr{F}$; en déduire que $\mathscr{G}$ est topologisant et idempotent, et que, pour tout $B$-module $N$, on a $\mathscr{F}N = \mathscr{G}N$ et $N_{\mathscr{F}}$ s’identifie canoniquement à $N_{\mathscr{G}}$.

d) Soit $S$ une partie multiplicative de $A$, et soit $\mathscr{F}$ l’ensemble des idéaux de $A$ rencontrant $S$. Montrer que $\mathscr{F}$ est topologisant et idempotent, et que, pour tout $A$-module $M$, $M_{(\mathscr{F})}$ et $M_{\mathscr{F}}$ s’identifient canoniquement à $S^{-1}M$ (remarquer que tout idéal de $\mathscr{F}$ contient un idéal principal $As$, où $s \in S$).