Bài tập 22, § 2

Cho A là một vành (không nhất thiết giao hoán) và S là một tập con nhân của A.

(a) Gọi $\mathscr F$ là tập hợp các iđêan trái I của A sao cho, với mọi $a\in A$, tồn tại $s\in S$ sao cho $sa\in I$; điều này đặc biệt suy ra rằng $I\cap S\ne\varnothing$. Chứng minh rằng $\mathscr F$ là tôpô hóa và lũy đẳng.

(b) Cho B là một vành và $\phi:A\longrightarrow B$ là một đồng cấu vành. Cặp có thứ tự $(B,\phi)$ được gọi là một vành phân thức trái của A với các mẫu trong S nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:

(I) Nếu $\phi(a)=0$, tồn tại $s\in S$ sao cho $sa=0$.

(II) Nếu $s\in S$, $\phi(s)$ là khả nghịch trong B.

(III) Mọi phần tử của B đều có dạng $(\phi(s))^{-1}\phi(a)$, trong đó $a\in A$.

Chứng minh rằng các tính chất sau là tương đương:

$(a)$ Vành A có một vành phân thức trái với các mẫu trong S.

$(\beta)$ Các điều kiện sau được thỏa mãn:

$(\beta_1)$ Với mọi $s\in S$, $a\in A$, tồn tại $t\in S$ và $b\in A$ sao cho $ta=bs$.

$(\beta_2)$ Nếu $a\in A$ và $s\in S$ thỏa mãn $as=0$, tồn tại $t\in S$ sao cho $ta=0$.

$(\gamma)$ Các ảnh chính tắc của các phần tử của S trong $A_{\mathscr F}$ là khả nghịch.

Hơn nữa các tính chất này kéo theo các tính chất sau:

$(\delta)$ Các iđêan chính $As$, với $s\in S$, thuộc $\mathscr F$ và mọi iđêan $m\in\mathscr F$ đều chứa một trong các iđêan chính này.

$(\epsilon)$ Linh hóa tử trái của mọi $s\in S$ được chứa trong $\mathscr F A_{,}$.

$(\zeta)$ Với mọi dãy khớp $0\longrightarrow M\xrightarrow{h}N\xrightarrow{p}P\longrightarrow0$ của các A-môđun, dãy $0\longrightarrow M_{\mathscr F}\xrightarrow{h_{\mathscr F}}N_{\mathscr F}\xrightarrow{p_{\mathscr F}}P_{\mathscr F}\longrightarrow0$ là khớp.

(Chứng minh rằng $(a)\Rightarrow(\beta)\Rightarrow(\gamma)\Rightarrow(a)$. Để thấy rằng $(\gamma)$ kéo theo $(a)$, chú ý rằng, với mọi A-môđun M và mọi $x\in\mathscr F M$, tồn tại $s\in S$ sao cho $sx=0$. Để thấy rằng $(\beta)$ kéo theo $(\gamma)$, trước hết chứng minh rằng $(\beta)$ kéo theo $(\delta)$, $(\epsilon)$ và $(\zeta)$. Để chứng minh rằng $(\beta)$ kéo theo $(\zeta)$, hãy thiết lập, sử dụng $(\delta)$, rằng, nếu $m\in\mathscr F$ và

thì tồn tại s \in S sao cho As tập con m và v \in \mathrm{Hom}_A(As, N/\mathscr{F}N) sao cho biểu đồ

giao hoán, với i là đơn ánh chính tắc và $p'$ là ánh xạ dẫn xuất từ $p$ bằng cách lấy các vành thương. Cuối cùng, xét với mọi $s \in S$, dãy khớp

trong đó $\mu_s$ là phép vị tự $\lambda \mapsto \lambda s$; sử dụng (E), (\zeta) và Bài tập 4 của Đại số, Chương I, § 8.)

(c) Suy ra từ (b) rằng, nếu A có một vành phân thức trái (B, $\phi$) với các mẫu trong S, thì vành này có tính chất phổ quát sau: với mọi đồng cấu vành $f : A \to C$ sao cho $f(s)$ khả nghịch trong C với mọi $s \in S$, tồn tại một đồng cấu duy nhất $g : B \to C$ sao cho $f = g \circ \phi$. Đặc biệt B đẳng cấu chính tắc với $A_{\mathscr{F}}$.

(d) Khái niệm về một vành phân thức phải của A với các mẫu trong S được định nghĩa tương tự. Suy ra từ (c) rằng, nếu tồn tại cả một vành phân thức trái và một vành phân thức phải của A, thì hai vành này đẳng cấu.

(e) Cho E là một không gian vectơ trên một trường K, $(e_i)_{i \in I}$ là một cơ sở của E và T là đại số tenxơ của E. Cho J là một tập con rỗng khác với I của I và S là tập con nhân của T sinh bởi các $e_i$ sao cho $i \in J$. Chứng minh rằng T không có vành phân thức trái hoặc phải với các mẫu trong S.

(f) Với ký hiệu của (e), giả sử rằng I = N và xét vành thương A của T theo iđêan hai phía sinh bởi các phần tử $e_0^2$ và $e_0 e_i - e_{i+1} e_0$, với mọi $i > 0$, và $e_i e_j - e_j e_i$, với $i > 0, j > 0$. Cho S' là tập nhân sinh bởi các ảnh chính tắc của các $e_i$ trong A, $\epsilon$ hoặc $i > 0$; chứng minh rằng A có một vành phân thức trái, nhưng không có một vành phân thức phải, với các mẫu trong S'.

(g) Giả sử rằng A có một vành phân thức trái với các mẫu trong S. Trong tập hợp S x A, cho R là quan hệ giữa $(s, x)$ và $(t, y)$: "tồn tại $r \in S$, $u \in A$, $v \in A$ sao cho $r = us = vt$ và $ux = vy$". Chứng minh rằng R là một quan hệ tương đương và định nghĩa trên tập hợp $B = (S \times A)/R$ một cấu trúc vành sao cho cặp có thứ tự gồm S và ánh xạ $\phi : A \to B$, ánh xạ $x \in A$ vào lớp của $(1, x)$, là một vành phân thức trái của A với mẫu trong S (sử dụng sự kiện rằng, với $s \in S$ và $t \in S$, tồn tại $u \in A$ và $v \in A$ sao cho $r = us = tv$ thuộc S). Xét trường hợp $S = A - \{0\}$ (xem Đại số, Chương I, § 9, Bài tập 8).