Exercice 22, § 2

Soit $A$ un anneau (non nécessairement commutatif), et soit $S$ une partie multiplicative de $A$.

a) Soit $\mathscr{F}$ l’ensemble des idéaux à gauche $I$ de $A$ tels que, pour tout $a \in A$, il existe $s \in S$ tel que $sa \in I$; cela entraîne en particulier $I \cap S \neq \emptyset$. Montrer que $\mathscr{F}$ est topologisant et idempotent.

b) Soient $B$ un anneau, $\varphi : A \to B$ un homomorphisme d’anneaux. On dit que le couple $(B, \varphi)$ est un anneau de fractions à gauche de $A$ à dénominateurs dans $S$ s’il vérifie les conditions suivantes :

I) Si $\varphi(a) = 0$, il existe $s \in S$ tel que $sa = 0$.

II) Si $s \in S$, $\varphi(s)$ est inversible dans $B$.

III) Tout élément de $B$ est de la forme $(\varphi(s))^{-1}\varphi(a)$, où $a \in A$.

Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes :

$\alpha$ L’anneau $A$ possède un anneau de fractions à gauche à dénominateurs dans $S$.

$\beta$ Les deux conditions suivantes sont vérifiées :

$\beta_1$ Quels que soient $s \in S$, $a \in A$, il existe $t \in S$ et $b \in A$ tels que $ta = bs$.

$\beta_2$ Si $a \in A$ et $s \in S$ sont tels que $as = 0$, il existe $t \in S$ tel que $ta = 0$.

$\gamma$ Les images canoniques des éléments de $S$ dans $A_{\mathscr{F}}$ sont inversibles.

En outre ces propriétés entraînent les suivantes :

$\delta$ Les idéaux principaux $As$, où $s \in S$, appartiennent à $\mathscr{F}$ et tout idéal $m \in \mathscr{F}$ contient un de ces idéaux principaux.

$\varepsilon$ L’annulateur à gauche de tout $s \in S$ est contenu dans $\mathscr{F}A_s$.

$\zeta$ Pour toute suite exacte $0 \to M \xrightarrow{h} N \xrightarrow{p} P \to 0$ de $A$-modules, la suite $0 \to M_{\mathscr{F}} \xrightarrow{h_{\mathscr{F}}} N_{\mathscr{F}} \xrightarrow{p_{\mathscr{F}}} P_{\mathscr{F}} \to 0$ est exacte.

(On montrera que $\alpha$ ) $\Rightarrow \beta ) \Rightarrow \gamma ) \Rightarrow \alpha$). Pour voir que $\gamma$ entraîne $\alpha$, remarquer que, pour tout $A$-module $M$ et tout $x \in \mathscr{F}M$, il existe $s \in S$ tel que $sx = 0$. Pour voir que $\beta$ entraîne $\gamma$, prouver d’abord que $\beta$ entraîne $\delta$, $\varepsilon$ et $\zeta$. Pour montrer que $\beta$ entraîne $\zeta$, on établira, à l’aide de $\delta$), que, si $m \in \mathscr{F}$ et si $u \in \mathrm{Hom}_A(m, P/\mathscr{F}P)$, alors il existe $s \in S$ tel que $As \subset m$ et $v \in \mathrm{Hom}_A(As, N/\mathscr{F}N)$, tels que le diagramme

soit commutatif, $i$ étant l’injection canonique et $p'$ l’application déduite de $p$ par passage aux quotients. On considérera enfin, pour tout $s \in S$, la suite exacte

où $\mu_s$ est l’homothétie $\lambda \mapsto \lambda s$; on utilisera $\varepsilon$, $\zeta$) et l’exerc. 4 de Alg., chap. I, § 8).

c) Déduire de b) que, si $A$ possède un anneau de fractions à gauche $(B, \varphi)$ à dénominateurs dans $S$, cet anneau possède la propriété universelle suivante : pour tout homomorphisme d’anneaux $f : A \to C$ tel que $f(s)$ soit inversible dans $C$ pour tout $s \in S$, il existe un homomorphisme et un seul $g : B \to C$ tel que $f = g \circ \varphi$. En particulier $B$ est canoniquement isomorphe à $A_{\mathscr{F}}$.

d) On définit de même la notion d’anneau de fractions à droite de $A$ à dénominateurs dans $S$. Déduire de c) que, s’il existe à la fois un anneau de fractions à gauche et un anneau de fractions à droite de $A$, à dénominateurs dans $S$, ces deux anneaux sont isomorphes.

e) Soient $E$ un espace vectoriel sur un corps $K$, $(e_i)_{i \in I}$ une base de $E$, $T$ l’algèbre tensorielle de $E$. Soient $J$ une partie de $I$ non vide et distincte de $I$, $S$ la partie multiplicative de $T$ engendrée par les $e_i$ tels que $i \in J$. Montrer que $T$ n’admet pas d’anneau de fractions à gauche ou à droite à dénominateurs dans $S$.

f) Avec les notations de e), on suppose $I = \mathbf{N}$, et on considère l’anneau $A$ quotient de $T$ par l’idéal bilatère engendré par les éléments $e_0^2$ et $e_0 e_i - e_{i+1} e_0$ pour tout $i > 0$, et $e_i e_j - e_j e_i$ pour $i > 0, j > 0$. Soit $S'$ l’ensemble multiplicatif engendré par les images canoniques des $e_i$ dans $A$, pour $i > 0$; montrer que $A$ admet un anneau de fractions à gauche, mais non un anneau de fractions à droite, à dénominateurs dans $S'$.

g) On suppose que $A$ admet un anneau de fractions à gauche à dénominateurs dans $S$. Dans l’ensemble $S \times A$, soit $R$ la relation entre $(s, x)$ et $(t, y)$ : « il existe $r \in S$, $u \in A$, $v \in A$ tels que $r = us = vt$ et que $ux = vy$ ». Montrer que $R$ est une relation d’équivalence, et définir sur l’ensemble $B = (S \times A)/R$ une structure d’anneau telle que le couple formé de $S$ et de l’application $\varphi : A \to B$ transformant $x \in A$ en la classe de $(1, x)$ soit un anneau de fractions à gauche de $A$ à dénominateurs dans $S$ (utiliser le fait que, pour $s \in S$ et $t \in S$, il existe $u \in A$ et $v \in A$ tels que $r = us = vt$ appartienne à $S$). Cas où $S = A - \{0\}$ (cf. Alg., chap. I, § 9, exerc. 8).