Bài tập 24, § 2

Cho $A$ là một vành, giao hoán hoặc không, và $\mathscr{F}$ là tập hợp các iđêan trái 1 của $A$ sao cho $l \cap m \neq 0$ đối với \emph{mọi} iđêan trái $m \neq 0$ của $A$.

Để $l \in \mathscr{F}$, điều kiện cần và đủ là, với mọi phần tử $a \neq 0$ của $A$, tồn tại $b \in A$ sao cho $ba \neq 0$ và $ba \in l$. Mọi iđêan $l$ của $\mathscr{F}$ đều chứa \emph{đế trái} của $A$ (\emph{Đại số}, Chương VIII, § 5, Bài tập 9) và, nếu $A$ là Artin, $\mathscr{F}$ gồm các iđêan chứa đế trái của $A$.

(a) Chứng minh rằng $\mathscr{F}$ là một tập hợp tôpô hóa (Bài tập 16). Suy ra rằng tập hợp $a$ gồm các $a \in A$ sao cho $la = 0$ với một $l \in \mathscr{F}$ nào đó (hợp của các iđêan triệt tiêu phải của các $l \in \mathscr{F}$) là một iđêan hai phía của $A$, không chứa phần tử lũy đẳng nào. Nếu $A$ là Noether trái, chứng minh rằng $a$ là lũy linh (trước hết chứng minh rằng mọi phần tử $a \in a$ đều lũy linh, bằng cách xét các iđêan triệt tiêu trái của các $a^n$; sau đó dùng Bài tập 26 (b) của \emph{Đại số}, Chương VIII, § 6).

Cho $K$ là một trường giao hoán và $B$ là vành các đa thức với các hệ số trong $K$ theo các bất định $Y$ và $X_i$, ($i \geq 1$). Cho $b$ là iđêan của $B$ sinh bởi các $X_i X_j$ ($i \# j$) và các $Y^{l-1} X_i$ và cho $A$ là vành thương $B/b$; chứng minh rằng trong $A$ iđêan $a$ được định nghĩa ở trên chứa lớp của $Y$, phần tử này không lũy linh.

(b) Chứng minh rằng, với mọi iđêan trái $m$ của $A$, tồn tại một iđêan trái $n$ của $A$ sao cho $m \cap n = 0$ và $m + n \in \mathscr{O}$ (Lấy $n$ là một iđêan cực đại trong số các iđêan trái $l$ sao cho $m \cap l = 0$).

(c) Một vành $A$ được gọi là (trái) \emph{gọn} nếu iđêan hai phía $a$ được định nghĩa trong (a) được rút gọn về 0. Nếu điều này xảy ra, tập hợp $\mathscr{F}$ là lũy đẳng (cho $l, m, n$ là các iđêan trái của $A$ sao cho $n \in \mathscr{F}$, $l \subset n$, $n/l$ là F-bỏ qua được, và $m \neq 0$. Nếu $x \neq 0$ thuộc $m \cap n$, thì tồn tại $r \in \mathscr{F}$ sao cho $r.x \subset l \cap m$).