Exercice 24, § 2

Soient $A$ un anneau commutatif ou non, $\mathscr{F}$ l’ensemble des idéaux à gauche $I$ de $A$ tels que $I \cap m \neq 0$ pour tout idéal à gauche $m \neq 0$ de $A$.

Pour que $I \in \mathscr{F}$, il faut et il suffit que pour tout élément $a \neq 0$ de $A$, il existe $b \in A$ tel que $ba \neq 0$ et $ba \in I$. Tout idéal $I$ de $\mathscr{F}$ contient le socle gauche de $A$ ($Alg.$, chap. VIII, § 5, exerc. 9), et si $A$ est artinien, $\mathscr{F}$ est formé des idéaux contenant le socle gauche de $A$.

a) Montrer que $\mathscr{F}$ est un ensemble topologisant (exerc. 16). En déduire que l’ensemble $\alpha$ des $a \in A$ tels que $Ia = 0$ pour un $I \in \mathscr{F}$ (réunion des annulateurs à droite des $I \in \mathscr{F}$) est un idéal bilatère de $A$, qui ne contient aucun idempotent. Si $A$ est noethérien à gauche, montrer que $\alpha$ est nilpotent (prouver d’abord que tout élément $a \in \alpha$ est nilpotent, en considérant les annulateurs à gauche des $a^n$; puis utiliser l’exerc. 26 b) de $Alg.$, chap. VIII, § 6).

Soient $K$ un corps commutatif, $B$ l’anneau de polynômes à coefficients dans $K$ par rapport à des indéterminées $Y$ et $X_i$ ($i \geq 1$). Soit $b$ l’idéal de $B$ engendré par les $X_i X_j$ ($i \neq j$) et les $Y^{i-1} X_i$, et soit $A$ l’anneau quotient $B/b$; montrer que dans $A$ l’idéal $\alpha$ défini ci-dessus contient la classe de $Y$, qui n’est pas nilpotente.

b) Montrer que, pour tout idéal à gauche $m$ de $A$, il existe un idéal à gauche $n$ de $A$ tel que $m \cap n = 0$ et $m + n \in \mathscr{F}$. (Prendre pour $n$ un idéal maximal parmi les idéaux à gauche $I$ tels que $m \cap I = 0$.)

c) On dit qu’un anneau $A$ est net (à gauche) si l’idéal bilatère $\alpha$ défini dans a) est réduit à 0. Lorsqu’il en est ainsi, l’ensemble $\mathscr{F}$ est idempotent (soient $I, m, n$ des idéaux à gauche de $A$ tels que $n \in \mathscr{F}$, $I \subset n$, $n/I$ étant $\mathscr{F}$-négligeable, et $m \neq 0$. Si $x \neq 0$ appartient à $m \cap n$, il existe $r \in \mathscr{F}$ tel que $r.x \subset I \cap m$).