Bài tập 25, § 2

Với ký hiệu của Bài tập 24, giả sử rằng $A$ là một vành neat trái.

(a) Chứng minh rằng ánh xạ chính tắc $j_1 : A \to A_{\mathscr{F}}$ là đơn ánh, điều này cho phép ta đồng nhất $A$ với một nhóm con của $A_{\mathscr{F}}$. Gọi $\mathscr{F}'$ là tập hợp các iđêan trái $l'$ của $A_{\mathscr{F}}$ sao cho $l'_{\mathscr{F}} = A_{\mathscr{F}}$; chứng minh rằng $\mathscr{F}'$ là tập hợp các iđêan trái $l'$ của $A_{\mathscr{F}}$ sao cho $l' \cap m' \neq 0$ đối với mọi iđêan trái $m' \# 0$ của $A_{\mathscr{F}}$. (Trước hết chứng minh rằng, đối với mọi iđêan trái $m' \neq 0$ của $A_{\mathscr{F}}$, $A \cap m' \neq 0$; mặt khác chú ý rằng các iđêan $l' \in \mathscr{F}'$ chính xác là các iđêan trái của $A_{\mathscr{F}}$ chứa một iđêan $m \in \mathscr{F}$.) Chứng minh rằng vành $A_{\mathscr{F}}$ là neat trái.

(b) Chứng minh rằng $A_{\mathscr{F}}$ là một $A$-môđun \emph{đơn ánh}, nghĩa là (\emph{Đại số}, Chương II, §2, Bài tập 11) rằng, đối với mọi iđêan trái $l$ của $A$ và mọi

tồn tại $a' \in A_{\mathscr{F}}$ sao cho $u(x) = xa'$ đối với mọi $x \in 1$. (Dùng Bài tập 24 (b) và Bài tập 19 (c).) Suy ra rằng mọi tự đồng cấu của A-môđun $A_{\mathscr{F}}$ đều có dạng $u : x \mapsto xa'$ trong đó $a' \in A_{\mathscr{F}}$ (chú ý rằng $\operatorname{Hom}_A(A, A_{\mathscr{F}}) = \operatorname{Hom}_{A_{\mathscr{F}}}(A_{\mathscr{F}}, A_{\mathscr{F}})$ theo Bài tập 19 (e)); đồng thời $\operatorname{Ker}(u) = (\operatorname{Ker}(u))_{\mathscr{F}}$.

(c) Chứng minh rằng, đối với mọi iđêan trái 1 của A, $1_{\mathscr{F}}$ là một nhân tử trực tiếp của $A_{\mathscr{F}}$. (Gọi m là một iđêan trái của A sao cho $m \cap 1 = 0$ và $m + 1 \in \mathscr{F}$; mở rộng phép chiếu của $m + 1$ lên m, bằng không trên 1, thành một tự đồng cấu $p$ của $A_{\mathscr{F}}$; chứng minh rằng $p^2 = p$ và rằng $\operatorname{Ker}(p) = 19$.)

(d) Chứng minh rằng $A_{\mathscr{F}}$ là một vành phẳng tuyệt đối (Chương I, § 2, Bài tập 17). (Rút gọn về trường hợp $A = A_{\mathscr{F}}$. Nếu $u$ là tự đồng cấu $x \mapsto xa$ của A-môđun trái $A_s$, thì $\operatorname{Ker}(u) = (\operatorname{Ker}(u))_{\mathscr{F}}$, và do đó $\operatorname{Ker}(u)$ nhận một iđêan bù m trong A.; chú ý rằng $\operatorname{Im}(u)$ đẳng cấu với m, do đó đơn ánh (\emph{Đại số}, Chương II, § 2, Bài tập 11) và vì vậy là một nhân tử trực tiếp của A, (sđd.). Cuối cùng, dùng Bài tập 13 của Đại số, Chương 11, § 1.)