Exercice 25, § 2

Avec les notations de l’exerc. 24, on suppose que $A$ est un anneau net à gauche.

a) Montrer que l’application canonique $j_A : A \to A_{\mathscr{F}}$ est injective, ce qui permet d’identifier $A$ à un sous-anneau de $A_{\mathscr{F}}$. Soit $\mathscr{F}'$ l’ensemble des idéaux à gauche $I'$ de $A_{\mathscr{F}}$ tels que $I'_\mathscr{F} = A_\mathscr{F}$; montrer que $\mathscr{F}'$ est l’ensemble des idéaux à gauche $I'$ de $A_{\mathscr{F}}$ tels que $I' \cap m' \neq 0$ pour tout idéal à gauche $m' \neq 0$ de $A_{\mathscr{F}}$. (Montrer d’abord que, pour tout idéal à gauche $m' \neq 0$ de $A_{\mathscr{F}}$, on a $A \cap m' \neq 0$; remarquer d’autre part que les idéaux $I' \in \mathscr{F}'$ sont exactement les idéaux à gauche de $A_{\mathscr{F}}$ contenant un idéal $m \in \mathscr{F}$.) Montrer que l’anneau $A_{\mathscr{F}}$ est net à gauche.

EXERCICES

b) Montrer que $A_{\mathscr{F}}$ est un A-module injectif, c'est-à-dire (Alg., chap. II, 3e éd., § 2, exerc. 11) que, pour tout idéal à gauche $I$ de $A$ et tout $u \in \mathrm{Hom}_A(I, (A_{\mathscr{F}})_s)$, il existe $a' \in A_{\mathscr{F}}$ tel que $u(x) = xa'$ pour tout $x \in I$. (Utiliser l'exerc. 24 b) et l'exerc. 19 c.) En déduire que tout endomorphisme du A-module $A_{\mathscr{F}}$ est de la forme $u : x \to xa'$ où $a' \in A_{\mathscr{F}}$ (remarquer que $\mathrm{Hom}_A(A, A_{\mathscr{F}}) = \mathrm{Hom}_{A_{\mathscr{F}}}(A_{\mathscr{F}}, A_{\mathscr{F}})$ en vertu de l'exerc. 19 e)) ; en outre on a $\mathrm{Ker}(u) = (\mathrm{Ker}(u))_{\mathscr{F}}$.

c) Montrer que, pour tout idéal à gauche $I$ de $A$, $I_{\mathscr{F}}$ est facteur direct de $A_{\mathscr{F}}$. (Soit $m$ un idéal à gauche de $A$ tel que $m \cap I = 0$ et $m + I \in \mathscr{F}$; prolonger la projection de $m + I$ sur $m$, nulle dans $I$, en un endomorphisme $p$ de $A_{\mathscr{F}}$; montrer que $p^2 = p$ et que $\mathrm{Ker}(p) = I_{\mathscr{F}}$.)

d) Montrer que $A_{\mathscr{F}}$ est un anneau absolument plat (chap. I, § 2, exerc. 17). (Se ramener au cas où $A = A_{\mathscr{F}}$. Si $u$ est l'endomorphisme $x \to xa$ du A-module à gauche $A_s$, on a $\mathrm{Ker}(u) = (\mathrm{Ker}(u))_{\mathscr{F}}$, et $\mathrm{Ker}(u)$ admet par suite un idéal supplémentaire $m$ dans $A_s$; remarquer que $\mathrm{Im}(u)$ est isomorphe à $m$, donc injectif (Alg., chap. II, 3e éd., § 2, exerc. 11), et par suite facteur direct de $A_s$ (loc. cit.). Utiliser enfin l'exerc. 13 de Alg., chap. II, 3e éd., § 1.)