Bài tập 1, § 3

(a) Cho $A$ là một vành không nhất thiết giao hoán và $I$, (resp. $I_d$) là tập hợp các phần tử của $A$ không có nghịch đảo trái (resp. phải). Chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương: (1) tổng của hai phần tử của $I$ thuộc $I$; (2) $I$, là một iđêan trái; (3) tồn tại một iđêan trái lớn nhất $\mathfrak{J}$ trong tập hợp các iđêan trái $\#A$. Nếu các điều kiện này được thỏa mãn, vành đối $A^0$ cũng thỏa mãn các điều kiện này, $I_1 = I_1 = \mathfrak{J}$, $\mathfrak{J}$ là iđêan cực đại duy nhất (trái hoặc phải) của $A$ và do đó là căn Jacobson của $A$, mọi phần tử $x \notin \mathfrak{J}$ đều khả nghịch và $A/\mathfrak{J}$ là một trường (xem Đại số, chương VIII, § 6, no. 3). Khi đó ta cũng nói rằng $A$ là một vành địa phương.

(b) Chứng minh rằng trong một vành địa phương không tồn tại lũy đẳng nào khác ngoài 0 và 1.