Exercice 1, § 3

a) Soient $A$ un anneau non nécessairement commutatif, $I_s$ (resp. $I_d$) l’ensemble des éléments de $A$ qui n’ont pas d’inverse à gauche (resp. à droite). Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes : 1° la somme de deux éléments de $I_s$ appartient à $I_s$; 2° $I_s$ est un idéal à gauche ; 3° il y a un plus grand idéal à gauche $\mathfrak{J}$ dans l’ensemble des idéaux à gauche $\neq A$. Si ces conditions sont réalisées, l’anneau opposé $A^0$ vérifie aussi ces conditions, on a $I_s = I_d = \mathfrak{J}$, $\mathfrak{J}$ est l’unique idéal maximal (à gauche ou à droite) de $A$, donc le radical de $A$, tout élément $x \in \mathfrak{J}$ est inversible, et $A/\mathfrak{J}$ est un corps (cf. Alg., chap. VIII, § 6, no 3). On dit encore alors que $A$ est un anneau local.

b) Montrer que dans un anneau local il n’existe pas d’idempotent distinct de 0 et de 1.