Bài tập 12, § 3

Cho $A = \prod_{i=1}^n A_i$, là tích của một họ hữu hạn các vành địa phương $A_i$, được đồng nhất một cách chính tắc với các iđêan của A. Cho B là một vành con của A sao cho $\mathrm{pr}_i B = A_i$ với $1 \leq i \leq n$. Chứng minh rằng B là hợp thành trực tiếp của nhiều nhất n vành địa phương và chỉ có thể là hợp thành trực tiếp của n vành địa phương nếu $B = A$. (Tiến hành quy nạp theo n, xét các iđêan $a_i = B \cap A_i$ của B. Lần lượt xét trường hợp $a_i = A_i$ với ít nhất một chỉ số i và trường hợp $a_i \neq A_i$ với mọi i. Chú ý rằng, nếu $a_i \neq A_i$, mọi iđêan cực đại của B đều chứa $a_i$, và xét vành $B/a_i$, kết luận rằng có nhiều nhất $n - 1$ iđêan cực đại phân biệt trong B; nếu khi đó B không là một vành địa phương, rút gọn nó về trường hợp $a_j = A$, với một $j \neq i$ nào đó, bằng cách sử dụng giả thiết quy nạp và Bài tập 1 (b.).) Cho một ví dụ trong đó $n > 1$ và B là một vành địa phương nhưng không đẳng cấu với bất kỳ $A_i$ nào (lấy các $A_i$ là các đại số trên cùng một trường $K$, mà các iđêan cực đại $m$, có bình phương bằng không).