Exercice 12, § 3

Soit $A = \prod_{i=1}^n A_i$ un produit d’une famille finie d’anneaux locaux $A_i$, identifiés canoniquement à des idéaux de A. Soit B un sous-anneau de A tel que $pr_i B = A_i$ pour $1 \leq i \leq n$. Montrer que B est composé direct d’au plus n anneaux locaux, et ne peut être composé direct de n anneaux locaux que si $B = A$. (Procéder par récurrence sur n, en considérant les idéaux $a_i = B \cap A_i$ de B. Examiner successivement le cas où $a_i = A_i$ pour un indice i au moins, et le cas où $a_i \neq A_i$ pour tout i. Remarquer que, si $a_i \neq A_i$, tout idéal maximal de B contient $a_i$, et en considérant l’anneau $B/a_i$, en conclure qu’il y a au plus $n - 1$ idéaux maximaux distincts dans B ; si alors B n’est pas un anneau local, se ramener au cas où $a_j = A_j$ pour un $j \neq i$ en utilisant l’hypothèse de récurrence et l’exerc. 1 b.).) Donner un exemple où $n > 1$, B est un anneau local mais n’est isomorphe à aucun des $A_i$ (prendre pour les $A_i$ des algèbres sur un même corps $K$, dont les idéaux maximaux $m_i$ sont de carrés nuls.)