Bài tập 4, § 3

Cho A là một vành địa phương (không nhất thiết giao hoán) và m là căn Jacobson của nó. Cho M và N là hai A-môđun tự do (sinh hữu hạn hoặc không) và $u : M \to N$ là một đồng cấu sao cho $1 \otimes u : M/mM \to N/mN$ là song ánh. Chứng minh rằng u là song ánh. (Trước hết chứng minh rằng u là toàn ánh rồi chứng minh rằng u là đơn ánh, bằng cách quy về trường hợp M và N sinh hữu hạn và lần lượt sử dụng Hệ quả 1 của Mệnh đề 4 và Mệnh đề 6.)