Bài tập 8, § 3

Cho A là một vành, B là một đại số trên A (không nhất thiết giao hoán) và E là một B-môđun trái sinh hữu hạn.

(b) Cho $(S_\lambda)_{\lambda \in L}$ là một họ các tập con nhân của A sao cho, với mọi iđêan cực đại m của A, tồn tại $\lambda \in L$ sao cho $m \cap S_\lambda = \varnothing$. Chứng minh rằng $\bigoplus_{\lambda \in L} S_\lambda^{-1}B$ là một B-môđun phẳng trung thành (trái hoặc phải; cf. § 2, Bài tập 8). Chứng minh rằng, nếu, với mọi $A \in L$, $S_\lambda^{-1}E$ là một $S_\lambda^{-1}B$-môđun phẳng (tương ứng phẳng trung thành), thì E là một B-môđun phẳng (tương ứng phẳng trung thành) (sử dụng Chương I, § 3, Bài tập 9, với $C_\lambda = S_\lambda^{-1}A$).

(c) Giả sử rằng các $S_\lambda$ thỏa mãn điều kiện (b) và L là hữu hạn. Chứng minh rằng, nếu, với mọi $A \in L$, $S_\lambda^{-1}E$ là một $S_\lambda^{-1}B$-môđun xạ ảnh sinh hữu hạn, thì E là một B-môđun xạ ảnh sinh hữu hạn.