Exercice 8, § 3

Soient A un anneau, B une A-algèbre (non nécessairement commutative), E un B-module à gauche de type fini.

a) Soient S une partie multiplicative de A, et munissons $S^{-1}B = S^{-1}A \otimes_A B$ de sa structure de $S^{-1}A$-algèbre ; $S^{-1}E$ peut alors être considéré comme un $S^{-1}B$-module à gauche ($Alg.$, chap. VIII, § 7, n° 1), isomorphe à $S^{-1}B \otimes_B E$. Montrer que, si E est un B-module plat, $S^{-1}E$ est un $S^{-1}B$-module plat.

b) Soit $(S_\lambda)_{\lambda \in L}$ une famille de parties multiplicatives de A telle que pour tout idéal maximal $m$ de A, il existe $\lambda \in L$ tel que $m \cap S_\lambda = \emptyset$. Montrer que $\bigoplus_{\lambda \in L} S_\lambda^{-1}B$ est un B-module fidèlement plat (à gauche et à droite ; cf. § 2, exerc. 8). Montrer que si, pour tout $\lambda \in L$, $S_\lambda^{-1}E$ est un $S_\lambda^{-1}B$-module plat (resp. fidèlement plat), alors E est un B-module plat (resp. fidèlement plat) (utiliser le chap. I, § 3, exerc. 9, avec $C_\lambda = S_\lambda^{-1}A$).

c) On suppose que les $S_\lambda$ vérifient la condition de b) et que L soit fini. Montrer que si, pour tout $\lambda \in L$, $S_\lambda^{-1}E$ est un un $S_\lambda^{-1}B$-module projectif de type fini, alors E est un B-module projectif de type fini.