Bài tập 16, § 2

a) Cho E là một A-môđun được tôpô tuyến tính tách được. Bây giờ chứng minh rằng các tính chất sau là tương đương α) E là compact tuyến tính (bài tập 15). β) Đối với mọi ánh xạ tuyến tính liên tục u từ E vào một A-môđun F được tôpô tuyến tính tách được, u(E) là một môđun con đóng của F. γ) Đối với mọi tôpô tuyến tính (tách được hoặc không) trên E, kém mịn hơn tôpô đã cho, E là đầy đủ. δ) E là đầy đủ, và có một hệ cơ sở (U_λ) của các lân cận mở của 0 trong E, tạo bởi các môđun con, sao cho các E/U_λ là các A-môđun rời rạc compact tuyến tính (xem § 3, bài tập 5). (Để thấy rằng γ kéo theo δ), xét một môđun con mở F của E, và một cơ sở lọc B trên E/F tạo bởi các đa tạp tuyến tính afin. Với mọi V ∈ B, gọi M_V là ảnh ngược trong E của môđun con phương của V trong E/F; xét trên E tôpô tuyến tính mà các M_V tạo thành một hệ cơ sở các lân cận của 0.)

b) Cho E là một A-môđun được tôpô tuyến tính tách được, M là một môđun con compact tuyến tính của E. Bây giờ chứng minh rằng đối với mọi môđun con đóng F của E, M + F là đóng trong E (xét ảnh của M trong E/F).

c) Cho E là một A-môđun compact tuyến tính, F là một A-môđun được tôpô tuyến tính tách được. Bây giờ chứng minh rằng đối với mọi môđun con đóng M của E × F, phép chiếu của M lên F là đóng. Đảo lại (xem Top. gén., chap. I, 3e éd., § 10, n° 2).

d) Cho E là một A-môđun compact tuyến tính, u là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào một A-môđun F được tôpô tuyến tính tách được. Bây giờ chứng minh rằng đối với mọi cơ sở lọc B trên E, tạo bởi các đa tạp tuyến tính afin, ảnh qua u của tập hợp các điểm bám dính của B là tập hợp các điểm bám dính của $u(\mathscr{B})$. Đặc biệt, đối với mọi môđun con đóng $M$ của $E$, ta có $\bigcap_{N \in \mathscr{B}} (M + N) = M + \bigcap_{N \in \mathscr{B}} N$.