Exercice 16, § 2

a) Soit E un A-module linéairement topologisé séparé. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes α) E est linéairement compact (exerc. 15). β) Pour toute application linéaire continue u de E dans un A-module linéairement topologisé séparé F, u(E) est un sous-module fermé de F. γ) Pour toute topologie linéaire (séparée ou non) sur E, moins fine que la topologie donnée, E est complet. δ) E est complet, et il y a un système fondamental (U_λ) de voisinages ouverts de 0 dans E, formé de sous-modules, et tel que les E/U_λ soient des A-modules discrets linéairement compacts (cf. § 3, exerc. 5). (Pour voir que γ entraîne δ), considérer un sous-module ouvert F de E, et une base de filtre B sur E/F formée de variétés linéaires affines. Pour toute V ∈ B, soit M_V l'image réciproque dans E du sous-module directeur de V dans E/F ; considérer sur E la topologie linéaire dont les M_V forment un système fondamental de voisinages de 0.)

b) Soient E un A-module linéairement topologisé séparé, M un sous-module linéairement compact de E. Montrer que pour tout sous-module fermé F de E, M + F est fermé dans E (considérer l'image de M dans E/F).

c) Soient E un A-module linéairement compact, F un A-module linéairement topologisé séparé. Montrer que pour tout sous-module fermé M de E × F, la projection de M sur F est fermée. Réciproque (cf. Top. gén., chap. I, 3e éd., § 10, n° 2).

d) Soient E un A-module linéairement compact, u une application linéaire continue de E dans un A-module linéairement topologisé séparé F. Montrer que pour toute base de filtre B sur E, formée de variétés linéaires affines, l'image par u de l'ensemble des points adhérents à B est l’ensemble des points adhérents à $u(\mathscr{B})$. En particulier, pour tout sous-module fermé $M$ de $E$, on a $\bigcap_{N \in \mathscr{B}} (M + N) = M + \bigcap_{N \in \mathscr{B}} N$.