Bài tập 17, § 2

Người ta nói rằng trên một $A$-môđun $E$ một tôpô tuyến tính $\mathscr{C}$ là cực tiểu nếu nó là tách được và nếu không tồn tại một tôpô tuyến tính tách được nào thô hơn nghiêm ngặt so với $\mathscr{C}$.

a) Để một tôpô tuyến tính tách được $\mathscr{C}$ trên $E$ là cực tiểu thì điều kiện cần và đủ là mọi cơ sở lọc $\mathscr{B}$ trên $E$, được tạo thành bởi các đa tạp tuyến tính afin, và có một điểm dính duy nhất, đều hội tụ về điểm này. (Để thấy rằng điều kiện là cần, hãy nhận xét rằng khi $M$ chạy qua $\mathscr{B}$ và $V$ là một hệ cơ sở các lân cận của $0$ được tạo thành bởi các môđun con, thì các $M + V$ tạo thành một cơ sở lọc có cùng các điểm dính như $\mathscr{B}$. Để thấy rằng điều kiện là đủ, hãy nhận xét rằng một cơ sở lọc được tạo thành bởi các môđun con mở, có giao giảm về $0$, là một hệ cơ sở các lân cận của $0$ đối với một tôpô tuyến tính tách được thô hơn $\mathscr{C}$.)

b) Để tôpô rời rạc trên một $A$-môđun $E$ là cực tiểu thì điều kiện cần và đủ là $E$ là Artin.

c) Nếu $\mathscr{C}$ là cực tiểu, tôpô cảm sinh bởi $\mathscr{C}$ trên mọi môđun con đóng của $E$ là cực tiểu.