Exercice 17, § 2

On dit que sur un $A$-module $E$ une topologie linéaire $\mathscr{C}$ est minimale si elle est séparée et s’il n’existe pas de topologie linéaire séparée strictement moins fine que $\mathscr{C}$.

a) Pour qu’une topologie linéaire $\mathscr{C}$ séparée sur $E$ soit minimale il faut et il suffit que toute base de filtre $\mathscr{B}$ sur $E$, formée de variétés linéaires affines, et ayant un seul point adhérent, soit convergente vers ce point. (Pour voir que la condition est nécessaire, observer que lorsque $M$ parcourt $\mathscr{B}$ et $V$ un système fondamental de voisinages de $0$ formé de sous-modules, les $M + V$ forment une base de filtre ayant mêmes points adhérents que $\mathscr{B}$. Pour voir que la condition est suffisante, remarquer qu’une base de filtre formée de sous-modules ouverts, dont l’intersection est réduite à $0$, est un système fondamental de voisinages de $0$ pour une topologie linéaire séparée moins fine que $\mathscr{C}$.)

b) Pour que la topologie discrète sur un $A$-module $E$ soit minimale, il faut et il suffit que $E$ soit artinien.

c) Si $\mathscr{C}$ est minimale, la topologie induite par $\mathscr{C}$ sur tout sous-module fermé de $E$ est minimale.